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    [导读]让我们很快地回顾一下，波恩-冯-卡曼(bvk)条件通过无限复制来人为地再现真实晶体的周期性，以便能够以最简单的方式描述电子的行为，也就是说，通过吸波。准确地说，如果 U (r)是指由向量R所定位的点上的一般彭波函数所假定的值，该函数将假设由数量转换的点上的相同值NI AI在哪里NI类1是自然整数，而I(I=1，2，3)定义格的基向量的三种。图1总结了最简单情况下的BVK过程。

    让我们很快地回顾一下，波恩-冯-卡曼(bvk)条件通过无限复制来人为地再现真实晶体的周期性，以便能够以最简单的方式描述电子的行为，也就是说，通过吸波。准确地说，如果 U (r)是指由向量R所定位的点上的一般彭波函数所假定的值，该函数将假设由数量转换的点上的相同值NI AI在哪里NI类1是自然整数，而I(I=1，2，3)定义格的基向量的三种。图1总结了最简单情况下的BVK过程。

    图1：有限尺寸的晶体被无限复制

    在BVK框架下，我们处于理想的环境中，因为我们正在考虑由晶体离子的同样周期分布所产生的周期性势能。在物理现实中，主要由于杂质(不同的原子、空缺等，局部周期性发生了违反)。在这种情况下，解决相应的特征值问题是困难的，如果不是不可能的话。在存在显示局部周期性违反的势能的情况下，将施罗定格方程进行积分。

    我们顺便指出，在拓扑上最简单的情况下，这个问题是复杂的。在单一空间维度。我们顺便介绍了玩具模型1正是出于上述原因。我们甚至没有解决本征值问题，因为它很乏味，考虑到在这个问题上有很多文献2。为了推导图2中所示的周期电位的唯一传导带，我们只考虑了哈密顿算子的矩阵表示形式。

    让我们顺便指出，选择“不对称方波”类型的电位，或更一般地选择分段常数函数的电位，是一种数学技巧，使施罗定格方程具有常系数，因此有一个直接的解。单调的部分由解的连接条件表示，与电位的有限不连续性相对应。这些条件返回了一个先验方程，当用数字/图形化方法求解时，它提供了能量的特征值。

    上述论点表明，同样的数学方法(还原为一元)应该用于局部违反势能函数的周期性。顺便说一下，1932年伊戈尔塔姆3以这种方式工作，但很巧妙。在解决了一元问题之后，他观察到在任意晶体中BVK只能纵向和横向地再现周期性，而在剩余的方向上，我们找到了真空的分离面。更直观地说，让我们看看图3，我们在图3中画了X-与分离面垂直的轴S从真空里取出的水晶。

    沿上述轴的方向在晶体内部移动，我们发现离子的周期性分布，然而，这些离子突然在S与…X-轴。因此，我们面临着一种突然的局部的潜在能量的破坏。然后，塔姆根据图3的方案重新配置了单向解，展示了新的单电子能级的存在，它是由违反周期性所产生的。在绝缘子的具体情况下，这种情况意味着完全沿表面运输电荷(因而也就是电流)的可能性。S.因此名字拓扑绝缘体相应的电荷状态今天称为塔姆州4。

    图2：周期性势能

    图3：违反 X -轴方向

    感应带碎片

    晶体中电子能量级带结构的存在在物理上是显而易见的。让我们把一个非相对论的电子从力中分离出来；量子机械上，它的能量可以假定0到+ba之间的任何值，这个值取决于初始条件)。如果电子被束缚在原子核上，那么能量级就被量子化了。晶体只不过是许多原子的聚集体，所以我们期望在自由电子和与原子结合的电子这两个极端情况之间有一个中间地带。

    例如，在金属中，单个电子是自由的，它能够不被离子捕获，而能量谱的波段结构概括了原子系统的特征，即由间隙隔开的单个能量带代表了与原子核结合的电子的量子级。

    也就是说，我们证明BVKS将晶体的能量带分解成一组离散的水平。重要的是要注意到，这并不是一个物理意义上的量化，而只是一个数学技巧。实际上，在一元情况下，量化会违反一个关于微分方程的重要定理5。

    在我们的玩具模型的特殊情况下，我们有一个由周期电位V(X)(图2)产生的单一传导带，其宽度由一个非负参数C我n(具有能量的尺寸)控制，因此，VOV解读0的极限复制了一个理想的绝缘子(一个无限高的单电池电位屏障)。我们有一个典型的半导体行为，这个参数的进一步调制模拟了金属的电导率。让我们迅速回顾，在这两种情况下，电荷的运输都是通过隧道过程进行的。

    传导带由下列函数定义：

    在哪里ε( k )是单电子哈密顿算子(即能源特征值)： E0>0是一个约束态的能量，A是晶格音调，而k是电子波的波数。我们已经建立了好几次(布洛赫定理)，上面提到的能量特征函数是由一个与晶格具有相同周期的函数在幅度上调制的平面波：

    更准确地说，调制信封ϕk(X)内载关于Uk(X)，然后通过相位因子传递给其他细胞EXP(我kx它的动作就像一个领航波。请注意，方程(2)是布洛赫电子波的快照，因为它不包含exp类型的时间依赖性(-)我ω(k)t)在哪里ω(k)定义传播介质的色散定律，用方程(1)除以减小的普朗克常数。

    我们现在使用的是波-文-卡曼边界条件。这涉及到分配一个偶数整数N所以水晶的“音量”是L=无≫A，然后无限复制，在边缘施加周期性条件：

    不过，ε(k)与第2期周期性π/a，所以只需将其限制在第一个布里卢因区[-π/a，π/a]。因此：

    换句话说，bvks强迫波数取离散值。此后k能量特征函数(2)，我们有一个有限的数字N被允许的国家：

    与…有关l由公式(4)给出。为了了解离散的能量水平是如何分布的，我们首先观察到起始函数ε(k是均匀的，因此关于坐标轴是对称的，在[--π/a，0]。这意味着，kl， 我.e.,k−N/2相当于ε(k)，即传导带的顶部。作为l能量水平下降，直到它们到达传导带的底部。其余的kl>0是对称的0kl<0，在图4中我们报告了N =10。

    图4：N=10

    在图4中，我们选择了一个较低的n值，用于函数(1)图中离散级别的可视化问题。相反，在典型的现实描述中，N是10个左右8。不过，不管N，国家数目k恰恰是N；它们的间隔相等，这使我们能够定义空间中的状态密度。k，详情如下：

    由于方程6概括为三维晶体，它可以改写如下：

    指数1是我们正在工作的物理空间的维度。因此，对于三维水晶，它是：

    这里，V=L3这是水晶的体积。

    坦姆-达维多夫算法

    如前所述，杂质(不同的原子空缺)的存在可以用势能项来建模w(X−ξ)加到定期术语中V(X)。数量w(X−ξ)是一个以…为中心的功能ξ(杂质存在点的横坐标)，当我们远离它时，它很快就消失了。例如，w(X-ξ)以高斯为中心ξ，或者，在我们的玩具模型电位中，w(X−ξ）可能是矩形脉冲。解析表达式理论上是不相关的，I给出了算法效率的必要条件。w(X−ξ)|≪|V(X)，即与周期电位相比，扰动电位的幅值必须很小。

    只有在这种情况下，时间独立摄动理论的应用6是允许的，只要我们知道不扰动特征函数的解析表达式，在我们的情况下，我们是布洛赫波。然而，这些表达式是未知的：我们只知道它们是调幅平面波。尽管如此，达维多夫在他的书中7重申塔姆在1932年进行的计算，用一个不易计算的积分替换了各州的总和。我们没有使用连续光谱近似法来用积分来代替和(这对NVOM1是有效的，因为在这种情况下，能量水平是如此的密集，以致它们近似于连续分布)。

    在我的帮助下数学软件，我们做了计算N=10区分两个案件：1)w(X−ξ)是一口潜在的井；2)w(X−ξ是一个潜在的障碍。第一个例子告诉我们，杂质可以是一个正离子，以这种方式发挥吸引作用。我们的计算证实了这个假设5*最低水平ε0“分离”产生了一个新的层次W0≪ε0，其余的大致等于未受干扰的水平。此外，从相应特征函数的行为来看，结果表明：W0是具有该能量的电子的约束态或定域态，遵循排除原理(在图5中，我们报告了与特征值对应的扰动特征函数的平方模块的行为)。

    情况2)，即在潜在屏障的情况下，最兴奋的级别是“分离”，现在没有局部状态，相应的能量特征函数类似于浮波(图6)。任意增加 N我们期待着以特征值为中心的非常密集的状态的出现，这些特征值与未受干扰的状态“分离”。在连续光谱近似中，这相当于两个新的波段的产生，这两个波段与以前的波段之间有一个缺口。对于以潜在井为代表的杂质，我们有一个能量带，它只呈现局部状态。在潜在屏障的情况下，我们有一个“兴奋”带，也就是说，在不受干扰的传导带顶部，包含离角状态。而这些正是物理上有趣的，因为它们会产生导电性。

    图5：扰动特征函数对应特征值的平方模量行为W0。测量单位无尺寸，特征函数不规范

    结论

    TMAM模型的真正难点在于实现了一个能够模拟晶体真空分离表面的现象学术语W(X---)。我们推测这样一个术语并不存在于函数中，而是存在于分布中( 狄拉克三角函数 )。

    图6：受势能项扰动的特征函数之一的行为w(X−ξ)>0